TRANSFORMADORES DE POTENCIA FABRICADOS POR GENERAL ELECTRIC Y WESTINGHOUSE – PROCESO DE GENERACION Y DISTRIBUCION DE ENERGIA ELECTRICA

Transformadores

Tarea 3 Calculo Vectorial - Vector de Poynting

Siendo A y B dos vectores tales que:

A = (Ax i + Ay j + Az k)

B = (Bx i + By j + Bz k)  

1. Hallar el resultado del producto escalar de A.B

A.B= (Ax i + Ay j + Az k) . (Bx i + By j + Bz k)

A.B= i.i (Ax . Bx ) + j.j (Ay . By ) + k.k (Az . Bz )

El producto escalar de los vectores unitarios con la misma dirección es igual a 1 por lo que:

A.B= (Ax . Bx ) + (Ay . By ) + (Az . Bz )

2. el resultado del producto vectorial de AxB

 

A x B= i (Ay j . Bz k - Az k . By j) – j (Ax i . Bz k - Az k . Bx i) + k (Ax i . By j - Ay j . Bx i )

3. Un vector A= (-1i, 2j, –2k) define un carga puntual en el plano cartesiano.

a. ¿Cuál es la distancia en magnitud de la carga al origen?

b. ¿Cuál es la expresión del vector unitario en la dirección de A?

Nota: Para calcular el vector unitario en la dirección de A dividiremos las componentes del vector A entre su correspondiente modulo. 

c. ¿Cuál es el ángulo que forma el vector con el eje Z?

Si asumimos que el eje z esta representado por el vector Z= (0i,0j,1k), entonces:

 

 

A partir del producto escalar de dos vectores podemos plantear que

 

4. Dado un campo eléctrico definido en el espacio cartesiano a través del vector A= (5i – 2j + k) y un campo magnético definido por el vector B= (-3i + 4K)

a. Hallar el producto A.B

A.B= (5i – 2j + k) . (-3i + 4K)

A.B= i.i (5.(-3)) + j.j ((-2).0) + k.k (1.4)

A.B= -11

b. Hallar el producto AxB

 

AxB= (-8i, -23j, -6k)

c. ¿Cual es el angulo existente entre A y B?

d. ¿Cuanto vale el modulo del vector de poynting y cual es su dirección?

El vector de poynting sera perpendicular al plano formado por los vectore Ay B.

5. a) Escriba la expresión del campo eléctrico que va del punto  P₁ (1,3,2) al punto P₂ (3,-2,4) en cordenadas cartesianas

P₁ P₂ = 0P₂ – 0P₁ = i (3-1) + j (-2-3) + k (4-2) = 2i – 5j + 2k

b) Determinar la longitud entre P₁ y P₂

   

c) Calcular la distancia menor desde el origen al plano definido por P₁ P₂

Tarea 2: Principios Básicos - Cálculo Vectorial

Sean A y B y C tres vectores concurrentes  de un espacio tridimensional R³ con  las siguientes componentes de vector en los sentidos de los vectores unitarios (i, j, k): 

A = (Ax i + Ay j + Az k)

B = (Bx i + By j + Bz k) 

C = (Cx i + Cy j + Cz k)

 

1. Obtener el resultado de A.(B x C)

Por lo que 

A.(B x C) = (i (Ay j . Bz k - Az k . By j) – j (Ax I . Bz k - Az k . Bx i)

+ k (Ax i . By j - Ay j . Bx i )) . (Cx i + Cy j + Cz k)

Sabiendo que los productos de los vectores unitarios con el mismo sentido es igual a 1 y a su vez el producto de vectores unitarios perpendiculares es igual 0 esto es:

i . i = 1

j . j = 1

k . k = 1

i . j = 0

j . k = 0

i . k = 0

Según lo anterior, el resultante del producto escalar de dos vectores será igual a multiplicar las componentes que tengan la misma orientación con respecto a sus vectores unitarios ya que serán estas las componentes que no se anulen.

A.(B x C) = i.i (Ay j . Bz k - Az k . By j)(Cx) – j.j (Ax i . Bz k - Az k . Bx i)(Cy)

+ k.k (Ax i . By j - Ay j . Bx i )(Cz)

Numericamente esto seria para trio de vectores 

A= (3, 2, -1), 

B = (2, 1, 0)

C = (1, -1, 3)

 De lo que resulta B x C = (1i -5j -2k).

Ahora

A.(B x C)= (1i -5j -2k) . (3i + 2j -1k)

A.(B x C)= (1i . 3i) + (-5j . 2i) + (-2k . -1i)

A.(B x C)= 3 -10 +2

A.(B x C)= -5

2. Demostrar que:

A.(B x C) = B.(C x A) = C.(A x B)

Nota: Como el producto A.(B x C) se demostro en el paso anterior se obviará en el siguiente desarrollo.

Cálculo del producto B.(C x A):

De lo que resulta C x A = (-5i +10j +5k).

Ahora

B.(C x A) = (-5i +10j +5k) . (2i + 0j +1k)

B.(C x A)= (-5i . 2i) + (10j . 0i) + (5k . 1k)

B.(C x A)= -10 + 5

B.(C x A)= -5

Cálculo del producto C.(A x B):

De lo que resulta A x B = (-5i +10j +5k).

Ahora

C.( A x B) = (2i -5j -4k) . (1i -1j +3k)

C.( A x B)= (2i . 1i) + (-5j . -1i) + (-4k . 3k)

C.( A x B)= 7 - 12

C.( A x B)= -5

Por lo que queda demostrado que :

A.( B x C) = B.( C x A) = C.( A x B) = -5 ( en el caso de los tres vectores usados para los ejemplos numericos).

3. ¿ En que casos puede reultar negativo el producto escalar de dos vectores?

Esta condición se cumplirá siempre y cuando el ángulo entre los dos vectores sea superior a 90 grados.

4. Producto Vectorial de dos vectores paralelos y Producto Vectorial de dos vectores Perpendiculares.

Sabiendo que

• Dos vectores que son paralelos entre si forman un ángulo de 0º, entonces:

Su producto vectorial resulta A x B= |A|.|B|.sen θ (si θ = 0 º)

A x B= 0

Su producto escalar resulta A . B= |A|.|B|.cos θ (si θ = 0 º) 

A . B= |A|.|B|

• Dos vectores que son perpendiculares entre si forman un ángulo de 90º, entonces:

Su producto vectorial resulta A x B= |A|.|B|.sen θ (si θ = 90 º)

A x B= |A|.|B|

Su producto escalar resulta A . B= |A|.|B|.cos θ (si θ = 90 º) 

A . B= 0

5. Dados dos vectores A y B ¿Como se calculan las componentes de A en la dirección de B y las componentes de A en la direccion de B?

Para hallar la componente del vector A en la dirección de B basta con obtener el producto escalar de A por el vector unitario en la dirección de B y para el caso de las componentes de B en la dirección de A Viceversa. Siendo A= (3, 2, -1) y B = (2, 1, 0) entonces:

Cálculo de los modulos de los vectores A y B

Cálculo de los vectores unitarios en la dirección de A y B

Nota: Para calcular los vectores unitarios en la dirección de A y B dividiremos las componentes de cada vector entre el correspondiente modulo del vector. 

Cálculo de las componentes :

Componentes de A en la dirección de B

Componentes de B en la dirección de A

6. Si A.B = A.C ¿implica que B = C ? Explique.

Partiendo de que:

A.B= |A|.|B| cos θ

A.C= |A|.|C| cos θ

Entonces, ya que ambos productos escalares son iguales y Cos θ = Cos (-θ) por ser una función par. Solo obtendremos un posible resultado al evaluar la función coseno en valores de θ por lo que en este caso B si es igual a C.

7. Si AxB = AxC ¿implica que B = C ? Explique.

Partiendo de que:

AxB= |A|.|B| sen θ

AxC= |A|.|C| sen θ

Entonces, ya que ambos productos vectoriales son iguales y Sen (-θ) = - Sen (θ) por ser una función impar. En este caso obtendremos resultados distintos al evaluar la función Seno por lo que B ≠ C.

Tarea 1: Conceptos Básicos

Electromagnetismo

Es la teoría que relaciona los fenómenos físicos que ocurren en la naturaleza asociados al magnetismo y la electricidad  y las cargas eléctricas que los generan. El objetivo principal del estudio del electromagnetismo es comprender la interacción entre cargas y corrientes a distancia, con base en el modelo electromagnético. Los campos y las ondas (campos dependientes del tiempo y del espacio).

Cantidades fuentes del modelo electromagnético

Las siguientes son cantidades fuentes consideradas en el modelo electromagnético

• Intensidad de Campo Eléctrico E → Es el único vector necesario al analizar la electrostática (los efectos de cargas eléctricas estacionarias) en el espacio libre y se define como la fuerza eléctrica por unidad de carga de prueba.

• Densidad de flujo eléctrico ó Desplazamiento Eléctrico D → El vector desplazamiento Des útil en el estudio de campos eléctricos en medios materiales.

• Densidad de flujo magnético B → La intensidad de flujo magnético  es el único vector necesario al analizar la magnetostática (los efectos de corrientes eléctricas estacionarias) en el espacio libre y se relaciona con la fuerza magnética que actúa sobre una carga que se mueve con una determinada velocidad.

• Intensidad de campo magnético H → Es útil en el estudio de los campos magnéticos en medios materiales.

Carga puntual

Una carga puntual es una carga eléctrica hipotética, de magnitud finita, contenida en un punto geométrico carente de toda dimensión, en otras palabras una carga puntual consiste en dos cuerpos con carga que son muy pequeños en comparación con la distancia que los separa.

Ya que el punto no tiene volumen, superficie ni longitud, la densidad (lineal, de superficie o volumétrica) de una carga puntual de magnitud finita es infinita; así que las cargas puntuales no existen en realidad. De cualquier modo, al resolver un problema donde las dimensiones reales del espacio en que está(n) contenida(s) la(s) carga(s) son despreciables comparándolas con otras dimensiones dadas por el problema

Función puntual

Las cantidades de campo eléctrico E y D y las cantidades de campo magnético By H forman dos pares vectoriales separados. Sin embargo las cantidades de campo eléctrico y magnéticos están acopladas; es decir, si E y D son variables con el tiempo producirán By H, y viceversa. Las cuatro cantidades son funciones puntuales. Las propiedades de los materiales (o medios) determinan las relaciones entre Ey D y entre B y H. Dichas relaciones se denominan constitutivas.

Las cuatro Unidades Fundamentales en el sistema MKS del Electromagnetismo

Tipo de campo / Unidad
Intensidad de campo electrico(E)	V / m (voltio /m)
Densidad de Flujo electrico (D)	C / m2 (Coulomb / m)
Intensidad de campo Magnetico (H)	A / m (Ampere / m)
Densidad de Flujo Magnetico (B)	T (Tesla)