Sean A y B y C tres vectores concurrentes de un espacio tridimensional R3 con las siguientes componentes de vector en los sentidos de los vectores unitarios (i, j, k):
A = (Ax i + Ay j + Az k)
B = (Bx i + By j + Bz k)
C = (Cx i + Cy j + Cz k)
1. Obtener el resultado de A.(B x C)
Por lo que
A.(B x C) = (i (Ay j . Bz k - Az k . By j) – j (Ax I . Bz k - Az k . Bx i)
+ k (Ax i . By j - Ay j . Bx i )) . (Cx i + Cy j + Cz k)
Sabiendo que los productos de los vectores unitarios con el mismo sentido es igual a 1 y a su vez el producto de vectores unitarios perpendiculares es igual 0 esto es:
i . i = 1
j . j = 1
k . k = 1
i . j = 0
j . k = 0
i . k = 0
Según lo anterior, el resultante del producto escalar de dos vectores será igual a multiplicar las componentes que tengan la misma orientación con respecto a sus vectores unitarios ya que serán estas las componentes que no se anulen.
A.(B x C) = i.i (Ay j . Bz k - Az k . By j)(Cx) – j.j (Ax i . Bz k - Az k . Bx i)(Cy)
+ k.k (Ax i . By j - Ay j . Bx i )(Cz)
Numericamente esto seria para trio de vectores
A= (3, 2, -1),
B = (2, 1, 0)
C = (1, -1, 3)
De lo que resulta B x C = (1i -5j -2k).
Ahora
A.(B x C)= (1i -5j -2k) . (3i + 2j -1k)
A.(B x C)= (1i . 3i) + (-5j . 2i) + (-2k . -1i)
A.(B x C)= 3 -10 +2
A.(B x C)= -5
2. Demostrar que:
A.(B x C) = B.(C x A) = C.(A x B)
Nota: Como el producto A.(B x C) se demostro en el paso anterior se obviará en el siguiente desarrollo.
Cálculo del producto B.(C x A):
De lo que resulta C x A = (-5i +10j +5k).
Ahora
B.(C x A) = (-5i +10j +5k) . (2i + 0j +1k)
B.(C x A)= (-5i . 2i) + (10j . 0i) + (5k . 1k)
B.(C x A)= -10 + 5
B.(C x A)= -5
Cálculo del producto C.(A x B):
De lo que resulta A x B = (-5i +10j +5k).
Ahora
C.( A x B) = (2i -5j -4k) . (1i -1j +3k)
C.( A x B)= (2i . 1i) + (-5j . -1i) + (-4k . 3k)
C.( A x B)= 7 - 12
C.( A x B)= -5
Por lo que queda demostrado que :
A.( B x C) = B.( C x A) = C.( A x B) = -5 ( en el caso de los tres vectores usados para los ejemplos numericos).
3. ¿ En que casos puede reultar negativo el producto escalar de dos vectores?
Esta condición se cumplirá siempre y cuando el ángulo entre los dos vectores sea superior a 90 grados.
4. Producto Vectorial de dos vectores paralelos y Producto Vectorial de dos vectores Perpendiculares.
Sabiendo que
- Dos vectores que son paralelos entre si forman un ángulo de 0º, entonces:
Su producto vectorial resulta A x B= |A|.|B|.sen θ (si θ = 0 º)
A x B= 0
Su producto escalar resulta A . B= |A|.|B|.cos θ (si θ = 0 º)
A . B= |A|.|B|
- Dos vectores que son perpendiculares entre si forman un ángulo de 90º, entonces:
Su producto vectorial resulta A x B= |A|.|B|.sen θ (si θ = 90 º)
A x B= |A|.|B|
Su producto escalar resulta A . B= |A|.|B|.cos θ (si θ = 90 º)
A . B= 0
5. Dados dos vectores A y B ¿Como se calculan las componentes de A en la dirección de B y las componentes de A en la direccion de B?
Para hallar la componente del vector A en la dirección de B basta con obtener el producto escalar de A por el vector unitario en la dirección de B y para el caso de las componentes de B en la dirección de A Viceversa. Siendo A= (3, 2, -1) y B = (2, 1, 0) entonces:
Cálculo de los modulos de los vectores A y B
Cálculo de los vectores unitarios en la dirección de A y B
Nota: Para calcular los vectores unitarios en la dirección de A y B dividiremos las componentes de cada vector entre el correspondiente modulo del vector.
Cálculo de las componentes :
Componentes de A en la dirección de B
Componentes de B en la dirección de A
6. Si A.B = A.C ¿implica que B = C ? Explique.
Partiendo de que:
A.B= |A|.|B| cos θ
A.C= |A|.|C| cos θ
Entonces, ya que ambos productos escalares son iguales y Cos θ = Cos (-θ) por ser una función par. Solo obtendremos un posible resultado al evaluar la función coseno en valores de θ por lo que en este caso B si es igual a C.
7. Si AxB = AxC ¿implica que B = C ? Explique.
Partiendo de que:
AxB= |A|.|B| sen θ
AxC= |A|.|C| sen θ
Entonces, ya que ambos productos vectoriales son iguales y Sen (-θ) = - Sen (θ) por ser una función impar. En este caso obtendremos resultados distintos al evaluar la función Seno por lo que B ≠ C.
